这个期权到行权日到底是不是实值期权（in-the-money），就是到底有没有行权的代价（好比说我买了一个看涨期权，可是行权日股价 S 低于 K，那么这个期权就没有代价）。
按照 Black-Scholes 模子，我们可以推导出以下数学公式来计较欧洲看涨期权和看跌期权的公允代价:
B-A-W 订价模子我们知道，欧式期权只有在到期日才气行权，美式期权在到期日前的任何时候都能行权，就是这种行权时间的机动性赋予了它相对欧式期权的一个溢价，那么，问题就清楚了，美式期权的订价公式如下：
· 标的资产的价值 (S) 是该资产的当前市场价值
Black-Scholes 模子主要用于计较欧式期权的理论代价，由于美式期权具有在到期日之前行权的特点，因此不能应用于欧式期权。
市场上没有套利时机。
那么详细怎么计较呢，首先我们先引入一个描写期权代价的众所周知的偏微分方程:
在先容各市场期权产物之前，我们首先探讨一下本文即将利用的两种期权订价方法：B-S 订价模子以及 B-A-W订价模子。美式期权价值=欧式期权价值+溢价
首先来看推导 BS 微分方程时用到的假设：资产的当前代价便是以无风险利率折现的预期收益。
股票的价值切合几许布朗举动，即股票的不确定性满意对数正态漫衍。
短期无风险利率（由 r 暗示）为常数并已知。在期权期限内，标的股票年收益率的尺度差 σ 已知且保持稳定。
可以做空证券，且证券可以被支解（如可以交易半手股票）。
在期权期限内，标的股票不付出股息。
在我们开始接头差异的期权订价模子之前，我们需要相识风险中性概率的观念。风险中性概率遍及应用于期权订价中，在差异的期权订价模子中大概会碰着。风险中性概率是按照风险调解后的将来功效的理论概率。这一观念背后有两个主要假设:
· 执行价值 (K) 是期权可以被执行的价值
Black-Scholes 模子中利用的主要变量包罗:
· 截至时间 (T) 是指从计较日期到执行日期之间的时间
假如行权了，那么我们的（期望）收益到底能有几多（好比行权价是 200，在行权日股价是 220，那么每股我们能赚 20 块；而假如股价是 120，则每股我们亏 80 块）。
风险中性概率是指股票价值在风险中性世界中上升的概率。可是，我们并没有假设市场上所有的投资者都是风险中性的，也没有假设风险资产会得到无风险的收益率。这个理论代价权衡的是购置和出售资产的概率，就仿佛市场上所有对象都有一个单一的概率一样。
期权订价
不外，这些假设可以放宽，并在须要时按照非凡环境举办调解。另外，我们可以很容易地利用这个模子来为股票以外的资产(钱币、期货)的期权订价。
市场不存在无风险套利时机。
市场无摩擦，即不存在生意业务用度和税收。
这两个不确定性恰恰就对应着由 BS 订价公式中的 N（d1) 和 N（d2） 。
对付任何一个期权，在订价时有两个不确定性需要思量：
B-S 订价模子
股息收益率最初并不是模子的主要输入内容。最初的 B-S 模子是为无股利股票的期权订价而开拓的。由于我们通过 Delta 对冲消除了随机性，该方程中没有任何随机变量，所以它是一个一般的（偏）微分方程，而非随机微分方程。求解这个微分方程需要给定的界线条件。对付欧式看涨期权，它的界线条件为其时间 t= T（行权时刻）时，，期权的价值 C 必需满意 C = max (S (T)-K,0 ) 这里 K 是行权价值。
上述公式利用了风险调解后的概率。N(d1) 是风险调解后的在期权到期时收到股票的概率。N(d2) 是期权将被执行的风险调解概率。这些概率是利用因子 d1 和 d2 的正态累积漫衍计较的。该公式给出了非派息股票的欧洲看涨期权的代价/价值。函数 N(・) 代表累积漫衍函数为正态(高斯)漫衍，这是一个随机变量的概率是小于便是其输入条件(即d₁和d₂)正态漫衍的。概率N的值(・)换句话说永远是 0≤N(・)≤1 之间。输入 d₁ 和 d₂ 得出:
· 颠簸率是权衡证券价值在随后的阶段变换幅度的指标
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